Erik Nordström: Bursuk-Ulam-satsen - Bevisföring via Tuckers lemma

Denna uppsats behandlar Bursuk-Ulam–satsen och hur ett bevis för denna kan se ut. Satsen säger att en kontinuerlig funktion från nn-sfären till ett euklidiskt nn-rum avbildar minst ett par antipodala punkter som funktionen tilldelar samma värde; här kallas två punkter antipodala om de ligger precis motsatt varandra i förhållande till sfärens centrum. Läsaren får först hjälp med att förstå satsen genom en liten längre utläggning där det inte tas för givet att man är insatt i terminologin i den formella presentationen av satsen. Vidare kommer ekvivalenta versioner av Bursuk-Ulam–satsen av presenteras och bevisas. Detta för att sedermera kunna härleda ekvivalens mellan Tuckers lemma och Bursuk- Ulam–satsen. Inledningsvis ges även en introduktion i topologi innehållande kunskaper som krävs för att förstå bevisföringen. Bekantskap stiftas med topologiska definitioner som affint oberoende, simplex och simpliciella funktioner. Efter att ekvivalens mellan Tuckers lemma och Bursuk-Ulam–satsen fastställts kommer en specialvariant av Tuckers lemma bevisas, och det ter sig så att denna variant räcker för att säkerställa att Bursuk-Ulam–satsen gäller och således även Tuckers lemma i sin helhet.

Supervisor: Marlena Novacyk