Pär Kurlberg: Vad är en klassgrupp?

Fermat påstod sig att med kongruenser kunna klassificera primtal representerade av de kvadratiska formerna \(x^2 + y^2 \), \(x^2 + 2y^2 \) samt \(x^2 + 3y^2 \), men det tog Euler 40 år ge acceptabla bevis. Fermats observation motiverade studier av mer generella (positivt definita) kvadratiska former, säg \(ax^2 + bxy + cy^2\), men för dessa visade sig klassificeringen betydligt mer komplicerad då det i allmänhet finns flera olika "klasser" av kvadratiska former med fixerad diskriminant \(D = b^2 - 4ac < 0 \). (Två kvadratiska former sägs ligga i samma klass om de är ekvivalenta under ett \(\mathop{\rm SL}(2,\mathbb{Z})\)-variabelbyte.) Gauss noterade att klasstalet \(h(D) \), dvs antalet olika klasser med diskriminant D, verkar växa då D går mot minus oändligheten, men undre gränser på klasstal har visat sig mycket subtila pga möjliga s.k. "Siegelnollställen". Gauss visade även att mängden klasser av former, under Legendres "sammansättningslag", bildar en ändlig abelsk grupp (i någon mening fann han den första "sant abstrakta gruppen".) Vi kommer att beskriva effektiva sätt att finna klasstalet meddelst gruppstrukturen samt Dirichlets klasstalsformel \(h(D) \sim \sqrt{|D|}\,L(1,\chi_D)\).

Lunchseminariets hemsida