Linear statistics of random matrices and log-gases
Tid: Fr 2023-06-02 kl 13.00
Plats: D2, Lindstedtsvägen 5, Stockholm
Språk: Engelska
Ämnesområde: Matematik
Respondent: Klara Courteaut , Matematik (Avd.)
Opponent: Christian Webb, University of Helsinki
Handledare: Kurt Johansson, Matematik (Avd.)
QC 2023-05-10
Abstract
Denna avhandling behandlar punktprocesser med ursprung i slumpmatristeori. Den består av en introduktion och tre forskningsartiklar.
I Artikel A och Artikel B studerar vi slumpmässiga matriser från de klassiska kompakta grupperna, nämligen ortogonala, unitära och symplektiska matriser fördelade enligt Haarmåttet. Vi undersöker momenten till det empiriska spektralmåttet för egenvärdena, d.v.s. spåren av matrisernas potenser. Dessa konvergerar i fördelning, då matrisernas dimension går mot oändligheten, mot oberoende, normalfördelade variabler. Konvergensen mot de Gaussiska variablerna är mycket snabb, det totala variationsavståndet avtar snabbare än exponentiellt.
Artikel A behandlar det multivariata fallet för ortogonala och symplektiska matriser: vi studerar det totala variationsavståndet mellan en vektor av spåren av matrisens potenser, och en vektor av oberoende normalfördelade variabler. Vi visar en explicit övre gräns för avståndet som beror på den högsta potensen och dimensionen av matrisen, och som funktion av deras kvot avtar snabbare än exponentiellt.
I Artikel B undersöker vi ett enda spår åt gången. Detta gör det möjligt att studera spåret av en hög potens, ända upp till dimensionen av matrisen i det unitära fallet. Resultatet visar övergången från ett superexponentiellt avtagande, för små potenser, till ett avtagande av Berry-Esseen-typ, för höga potenser. Argumentet ger även mer precisa gränser för det totala variationsavståndet. Vi ger det första resultatet för en undre gräns i fallet då potensen är lika med ett och bestämmer den exakta asymptotiken för L2-avståndet.
I Artikel C studerar vi en Coulombgas på en Jordankurva i planet, vid en godtycklig temperatur. Detta generaliserar den Cirkulära β-Ensemblen på cirkeln till en mer allmän kurva. Vi visar först en formel för asymptotiken för Laplacetransformen av en linjär statistika, och härleder asymptotiken för partitionsfunktionen utifrån denna. Den asymptotiska formeln uttrycks bland annat i termer av Grunskyoperatorn hörande till den yttre konforma avbildningen till kurvan.