Sten Ville Wassberg: An approach of proving Riemann’s mapping theorem via the existence of a solution to the Dirichlet’s problem

Abstract.

Konforma avbildningar är funktioner som bevarar orienterade vinklar mellan kurvor i det komplexa talplanet. De har många tillämpningar inom komplex analys. Till exempel att lösa differentialekvationer och modellera fysikaliska fenomen. Riemanns teorem säger att varje enkelt sammanhängande område i det komplexa talplanet, som inte är hela planet, kan avbildas konformt på enhetsdisken. I denna text presenterar vi ett bevis av Riemanns teorem som bygger på Perrons metod, Greens funktion, konstruktion av barriärer, samt lösningen till Dirichlet-problemet. Vi försöker ge ett bevis likt hur Riemann sjäv gjorde det, oberoende av normala familjer, som är ett kraftfullt men tekniskt verktyg. En introduktionen av konforma avbildningar ges med syftet att visa på intressanta tillämpningar och bidra med en klarare bild av beviset av Riemanns teorem. Det visar sig dock att beviset i den här texten inte helt lyckas vara oberoende av normala familjer. I slutändan ges ändå ett bevis.