Large Deviations and Related Topics in Random Conformal Geometry

QC 2026-02-13

Abstract

Denna avhandling utforskar tre modeller av stokastiska geometri i det komplexa

planet: SLE-kurvor, Hastings-Levitov-modellen och Dyson Brownsk rörelse. Ett

genomgående tema i avhandlingen är stora avvikelser, vilken ger upphov till stora

avvikelse-funktionaler med inneboende kopplingar till modellernas geometri.

I Artikel A presenteras ett bevis av en stora avvikelser-sats för Schramm–

Loewner evolution, SLE𝜅, i det övre halvplanet, då 𝜅 → 0+, i topologin för lokalt

likformig konvergens. Stora avvikelse-funktionalen ges i detta fall av Loewneren-

ergin.

I Artikel B studerar vi stora avvikelser hos Hastings-Levitov-modellen HL(0)

i en viss skalgräns när antalet partiklar går mot oändligheten och kapaciteten för

varje enskild partikel går mot noll medan deras produkt förblir konstant. Speciellt

studeras partikelkluster via Loewners differentialekvation och vi bevisar en stora

avvikelser-sats för tillhörande drivmått, med stora avvikelse-funktionalen given

av den relativa entropin. Stora avvikelser-satsen på nivån för konforma avbild-

ningar erhålls via kontraktionsprincipen och leder till ett intressant minimer-

ingsproblem som går ut på att hitta ett drivmått med minimal relativ entropi

som producerar ett givet kluster. Vi visar att klassen av kluster som genereras av

Loewnerevolution med ändlig entropi innehåller alla Weil-Petersson- och Becker-

kvasicirklar, en självskärande kurva samt en Jordankurva med en spets.

I Artikel C ges en rigorös definition av Dyson Brownsk rörelse på en rekti-

fierbar Jordankurva. Vi visar att processen kan konstrueras för inversa temper-

aturer 𝛽 ≥ 1 och att övergångssannolikhetsfunktionen uppfyller Fokker–Planck–

Kolmogorov-ekvationen. Under ytterligare antaganden om kurvans släthet be-

visar vi konvergens mot den stationära Coulomb-gasfördelningen på kurvan, stud-

erar stora avvikelser vid låg temperatur och härleder en medelfälts-McKean–

Vlasov-ekvation i den hydrodynamiska gränsen.

I Artikel D definieras Dyson Brownsk rörelse på en cirkelbåge. Processen

existerar för alla värden 𝛽 > 0 och dess övergångssannolikhetsfunktion uppfyller

Fokker–Planck–Kolmogorov-ekvationen med reflekterande randvillkor. Processen

är ergodisk och dess stationära fördelning ges av Coulomb-gastätheten på cirkel-

bågen.

urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-376750