Bengt Ek: Lite om ultraprodukter och axiomatisering
Tid: To 2015-10-08 kl 12.20
Plats: Room 3721, Lindstedtsvägen 25, 7th floor, Department of mathematics, KTH
Medverkande: Bengt Ek, KTH
Med en (algebraisk, kombinatorisk, ...) struktur menar vi en mängd med vissa funktioner och/eller relationer definierade på den (t.ex. produkt, invers, är mindre än, är granne med).
Många naturliga klasser av matematiska objekt (t.ex. grupper, kroppar, ordnade mängder, grafer) är axiomatiserbara, dvs de kan definieras som alla de strukturer som uppfyller vissa axiom (med vilket vi här menar utsagor i första ordningens predikatlogik). Exempel på axiom är ”för alla x, y, z: \((x*y)*z=x*(y*z)\)”, ”för alla x, y, z: om x < y och y < z så x < z”.
Men vissa andra (till synes naturliga) klasser av strukturer (t.ex. kroppar av ändlig karakteristik, sammanhängande grafer och välordnade mängder) kan inte beskrivas av en (ändlig eller oändlig) uppsättning axiom. När vi definierar dem måste vi alltså använda villkor som inte kan uttryckas i första ordningens predikatlogik.
Jag ämnar presentera begreppen ultrafilter och ultraprodukt och visa hur de kan användas för att avgöra om en given klass strukturer är axiomatiserbar. De kan också användas för att konstruera icke-standardmodeller för t.ex. naturliga tal och reella tal.