Bengt Ek: Dedekinds snitt för partialordnade mängder?

För en linjärt ordnad mängd, som t.ex. de rationella talen, finns för varje ändlig delmängd ett supremum och ett infimum (dvs ett minsta element som är större än eller lika med varje element i delmängden, respektive ett största som är mindre än eller lika med vart och ett av dem).

Man kallar en ordning fullständig (eller komplett) om det finns supremum och infimum för varje delmängd till den ordnade mängden. De rationella talen utgör inte en fullständig ordnad mängd, eftersom t.ex. mängden av rationella tal som är mindre än roten ur 2 inte har något supremum. Med hjälp av de s.k. Dedekinds snitt konstrueras en minimal fullständigt ordnad mängd som innehåller de rationella talen, nämligen de reella talen (utökade med plus och minus oändligheten).

För en partiellt ordnad mängd, där två olika element inte behöver vara jämförbara, kan det vara så att supremum eller infimum inte ens existerar för vissa ändliga delmängder. T.ex. kan det för två element saknas element som är större än (eller lika med) båda, eller det kan finnas flera sådana, utan att något av dem är minst.

Jag tänker berätta om en klassisk metod att konstruera en fullständig utvidgning av en godtycklig (partial)ordnad mängd, vilken för linjärt ordnade mängder sammanfaller med Dedekinds metod.

Om det blir tid över kanske jag säger något om ett annat sätt att "fylla på" de rationella talens ordning, så att de blir "ännu tätare" (i en annan mening än de reella talen).

Jag kommer inte att förutsätta vana vid Dedekinds snitt eller allmänna partialordnade mängder.

Lunchseminariets hemsida